Question

8．在△ABC中，BC=$\sqrt{6}$，AB=2，1+$\frac{tanA}{tanB}$=$\frac{2AB}{AC}$，则AC=（　　）

• A． $\sqrt{6}$-1
• B． 1+$\sqrt{6}$
• C． $\sqrt{3}$-1
• D． 1+$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 1+$\frac{tanA}{tanB}$=$\frac{2AB}{AC}$，可得$\frac{sin（A+B）}{sinBcosA}$=$\frac{2c}{b}$，即$\frac{sinC}{sinBcosA}$=$\frac{2c}{b}$，利用正弦定理化为：cosA=$\frac{1}{2}$，A∈（0，π），可得A，再利用余弦定理即可得出．

解答 解：∵1+$\frac{tanA}{tanB}$=$\frac{2AB}{AC}$，∴$\frac{sin（A+B）}{sinBcosA}$=$\frac{2c}{b}$，∴$\frac{sinC}{sinBcosA}$=$\frac{2c}{b}$，
∴$\frac{1}{cosA}$=2，即cosA=$\frac{1}{2}$，A∈（0，π），
解得A=$\frac{π}{3}$．
由余弦定理可得：$（\sqrt{6}）^{2}$=2²+b²-4bcos$\frac{π}{3}$，
∴b²-2b-2=0，
解得b=1+$\sqrt{3}$．
故选：D．

点评 本题考查了正弦定理余弦定理、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．