Question

6．已知函数f（x）=$\frac{1}{3}$x²+ax²+bx-$\frac{5}{6}$（a＞0，b∈R），f（x）在x=x₁和x=x₂处取得极值，且|x₁-x₂|=$\sqrt{5}$，曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线与直线x+y=0垂直．
（Ⅰ）求f（x）的解析式； 
（Ⅱ）证明关于x的方程（k²+1）e^x-1-kf′（x）=0至多只有两个实数根（其中f′（x）是f（x）的导函数，e是自然对数的底数）

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意可知x₁，x₂是方程x²+2ax+b=0的两个根，利用韦达定理及|x₁-x₂|=$\sqrt{5}$，求得4a²-4b=5，由f′（1）=1，2a+b+1=0联立即可求得a和b的值，求得f（x）的解析式；
（Ⅱ）由题意可知当k≠0时，k+$\frac{1}{k}$=$\frac{{x}^{2}+x-1}{{e}^{x-1}}$，构造辅助函数，求导根据函数的单调性求得函数的极值及最值，利用基本不等式的性质，当k＜0时，k+$\frac{1}{k}$≤-2直线y=k+$\frac{1}{k}$，与曲线y=g（x）至多有两个交点，当k＞0时，k+$\frac{1}{k}$≥2＞$\frac{5}{e}$=g（x）_极大，直线y=k+$\frac{1}{k}$，与曲线y=g（x）只有一个交点，即可求证方程至多有两个实根．

解答 解：（Ⅰ）求导f′（x）=x²+2ax+b，由f（x）在x=x₁和x=x₂处取得极值，
则x₁，x₂是方程x²+2ax+b=0的两个根，则x₁+x₂=-2a，x₁x₂=b，
由|x₁-x₂|=$\sqrt{5}$，则（x₁+x₂）²-4x₁x₂=5，则4a²-4b=5，①
由曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线与直线x+y=0垂直，
则f′（1）=1，
即2a+b+1=0，②，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{b=-1}\end{array}\right.$．
∴f（x）=$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{2}$x²-x-$\frac{5}{6}$，
（Ⅱ）对于（k²+1）e^x-1-kf′（x）=0，
当k=0时，e^x-1=0，方程为实根，
当k≠0时，k+$\frac{1}{k}$=$\frac{{x}^{2}+x-1}{{e}^{x-1}}$，令g（x）=$\frac{{x}^{2}+x-1}{{e}^{x-1}}$，
g′（x）=-e$\frac{{x}^{2}-x-2}{{e}^{x}}$=-e$\frac{（x+1）（x-2）}{{e}^{x}}$，
当x∈（-∞，-1）∪（2，+∞）时，g′（x）＜0，
∴g（x）的单调递减区间（-∞，-1），（2，+∞）单调递增区间（-1，2），
函数g（x）在x=-1和x=2处分别求得极小值和极大值，
g（x）_极小=g（-1）=-e²＜0，g（x）_极大=g（2）=$\frac{5}{e}$＞0，
∴对于g（x）=$\frac{{x}^{2}+x-1}{{e}^{x-1}}$，由e^x-1＞0恒成立，
且y=x²+x-1时与x轴有两个交点，
从而g（x）无极大值，g（x）_min=g（x）_极小=g（-1）=-e²，
当k＜0时，k+$\frac{1}{k}$≤-2直线y=k+$\frac{1}{k}$，与曲线y=g（x）至多有两个交点，
当k＞0时，k+$\frac{1}{k}$≥2＞$\frac{5}{e}$=g（x）_极大，直线y=k+$\frac{1}{k}$，与曲线y=g（x）只有一个交点，
∴方程（k²+1）e^x-1-kf′（x）=0至多只有两个实数根．

点评 本题考查导数的综合应用，利用导数求函数的单调性及极值，考查函数与图象的交点问题，考查计算能力，属于中档题．