Question

已知椭圆的两个焦点为F₁、F₂，|F₁F₂|=14，P为椭圆上一点，∠F₁PF₂=

2

3

π，若△F₁PF₂的面积S=13

3

，求椭圆的标准方程．

Answer 1

考点：椭圆的标准方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设椭圆的标准方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0），|PF₁|=m，|PF₂|=n，由已知知mn=52，m²+n²-2mncos120°=14²，由此求出椭圆方程为

x2

62

+

y2

13

=1．同理，设椭圆方程为

x2

b2

+

y2

a2

=1，（a＞b＞0），解得椭圆方程为

x2

13

+

y2

62

=1．

解答： 解：设椭圆的标准方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0），
|PF₁|=m，|PF₂|=n，
∵S△PF1F2=13

3

，∴

1

2

mnsin120°=13

3

，
解得mn=52，①
△PF₁F₂中，|F₁F₂|=14，
∴m²+n²-2mncos120°=14²，②
由①②，得（m+n）²=m²+n²+2mn=14²+52=248，
∴4a²=248，解得a²=62，
又c²=49，∴b²=a²-c²=13，
∴椭圆方程为

x2

62

+

y2

13

=1．
同理，设椭圆方程为

x2

b2

+

y2

a2

=1，（a＞b＞0），
解得椭圆方程为

x2

13

+

y2

62

=1．

点评：本题考查椭圆方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．