Question

已知函数f（x）=x|x-a|+b．
（1）若函数f（x）是奇函数，求f（x）的表达式；
（2）若a＞0，b=-2，当x∈[0，1]时，恒有f（x）不大于零，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据函数是奇函数，f（0）=0，f（-x）=-f（x）求解f（x）的表达式；
（2）分情况讨论去掉绝对值，然后利用函数的单调性求a的取值范围．

解答： 解：因为f（x）=x|x-a|+b，
所以f（-x）=（-x）|（-x）-a|+b=-x|x+a|+b，
又f（x）是奇函数，
所以f（-x）=-f（x），
 即-x|x+a|+b=-x|x-a|-b，
即x（|x-a|-|x+a|）-2b=0，
又f（0）=0⇒b=0，
所以x（|x-a|-|x+a|）=0，
所以|x-a|=|x+a|，
两边平分得：（x-a）²=（x+a）²，即x²-2ax+a²=x²+2ax+a²，
所以2ax=0
解得：a=0
故f（x）=x|x|；
（2）b=-2时，f（x）=

x2-ax-2(x≥a) -x2+ax-2(x＜a)

图象如图：
①当

a

2

＞1，即a＞2时，只需f（1）≤0，-1+a-2≤0，解得2＜a≤3；
②当

a

2

≤1＜a，即1＜a≤2时，只需f（x）_max=f（

a

2

）≤0，即

a2

4

-2≤0，解得：1＜a≤2；
③当a≤1时，函数在[0，1]上先减后增，

f( a 2 )≤0 f(1)≤0

⇒

-2 2 ≤a≤2 2 -1-a≤0

，解得-1≤a≤1，
综上：-1≤a≤3．

点评：本题主要考查奇函数的性质和函数的单调性，属于中档题．