Question

在四边形ABCD中，∠ADB=∠BCD=75°，∠ACB=∠BDC=45°，DC=

3

，求：
（1）AB的长
（2）四边形ABCD的面积．

Answer 1

考点：正弦定理

专题：解三角形

分析：（1）由∠BCD-∠ACB求出∠ACD度数，再由∠BDC度数求出∠DAC度数，进而得到∠ACD=∠DAC，利用等角对等边得到AD=DC=

3

，在三角形BCD中，求出∠CBD的度数，利用正弦定理列出关系式，求出BD的长，在三角形ABD中，利用余弦定理即可求出AB的长；
（2）利用三角形面积公式分别求出三角形ABD与三角形BCD面积，之和即为四边形ABCD面积．

解答： 解（1）∵∠BCD=75°，∠ACB=45°，
∴∠ACD=30°，
又∵∠BDC=45°，
∴∠DAC=180°-（75°+45°+30°）=30°，
∴AD=DC=

3

，
在△BCD中，∠CBD=180°-（75°+45°）=60°，
由正弦定理得：

BD

sin∠BCD

=

DC

sin∠CBD

，即

BD

sin75°

=

DC

sin60°

，
∴BD=

3 sin75°

sin60°

=

6 + 2

2

，
在△ABD中，由余弦定理得：AB²=AD²+BD²-2×AD×BD×cos75°=5，
∴AB=

5

；
（2）由题意得：S_△ABD=

1

2

×AD×BD×sin75°=

3+2 3

4

，S_△BCD=

1

2

×CD×BC×sin75°=

3+ 3

4

，
则四边形ABCD的面积S=S_△ABD+S_△BCD=

6+3 3

4

．

点评：此题考查了正弦定理，余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．