Question

如图，底面ABCD为菱形的直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁，所有棱长都为2，∠BAD=60°，E为BB₁的延长线上一点，D₁E⊥面D₁AC．
（1）求线段B₁E的长度及三棱锥E-D₁AC的体积V E-D1AC；
（2）设AC和BD交于点O，在线段D₁E上是否存在一点P，使EO∥面A₁C₁P？若存在，求D₁P：PE的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）如图所示，建立空间直角坐标系．由题意可得A(

3

，-1，0)，C（0，2，0），D₁（0，0，2），
B(

3

，1，0)，B1(

3

，1，2)．设E(

3

，1，z)，利用线面垂直的性质、向量垂直与数量积的关系可得E，
再利用三棱锥E-D₁AC的体积V E-D1AC=

1

3

•SACD1•|D1E|即可得出．
（2）假设在线段D₁E上存在一点P，使EO∥面A₁C₁P．连接A₁C₁、B₁D₁，相交于点O₁，连接O₁P，则O₁P∥OE．另一方面

D1P

=μ

D1E

．利用向量共线定理即可得出．

解答： 解：（1）如图所示，建立空间直角坐标系．
由题意可得A(

3

，-1，0)，C（0，2，0），D₁（0，0，2），
B(

3

，1，0)，B1(

3

，1，2)．
设E(

3

，1，z)，

D1E

=(

3

，1，z-2)，

D1A

=(

3

，-1，-2)，

D1C

=（0，2，-2）．
∵D₁E⊥面D₁AC，∴

D1E • D1A =3-1-2(z-2)=0 D1E • D1C =2-2(z-2)=0

，解得z=3．
∴E(

3

，1，3)．
∴|B₁E|=2．
∵|D₁A|=2

2

=|D₁C|，|AC|=2

3

，
∴S△ACD1=

1

2

×2

3

×

(2 2 )2-( 3 )2

=

15

，
∵|D₁E|=

( 3 )2+1+(3-2)2

=

5

．
∴三棱锥E-D₁AC的体积V E-D1AC=

1

3

•SACD1•|D1E|=

1

3

×

15

×

5

=

5 3

3

．
（2）假设在线段D₁E上存在一点P，使EO∥面A₁C₁P．
连接A₁C₁、B₁D₁，相交于点O₁，连接O₁P，则O₁P∥OE．
O(

3

2

，

1

2

，0)，O₁(

3

2

，

1

2

，2)，
∴

O1P

=λ

OE

=λ(

3

2

，

1

2

，3)，
∴

x- 3 2 = 3 2 λ y- 1 2 = 1 2 λ z-2=2λ

，
另一方面

D1P

=μ

D1E

，
∴

x= 3 μ y=μ z-2=μ

，
解得x=

2 3

3

，y=

2

3

，z=

8

3

，λ=

1

3

，μ=

2

3

．
∴P(

2 3

3

，

2

3

，

8

3

)．
∴

D1P

=

2

3

D1E

，
∴

D1P

PE

=2．

点评：本题考查了建立空间直角坐标系解决线面垂直、向量共线、三棱锥的体积等基础知识与基本技能方法，考查了空间想象能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题．