Question

已知一曲线是与两个定点O（0，0），A（a，0）（a≠0）的距离的比为k的点的轨迹，求此曲线的方程，并判断曲线的形状．

Answer 1

考点：轨迹方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设所求的曲线上的任意一点P（x，y），根据此曲线是与两个定点O（0，0），A（a，0）（a≠0）的距离的比为k的点的轨迹，可得

|PO|

|PA|

=k，

x2+y2

(x-a)2+y2

=k≥0，化为（k²-1）x²-2ak²x+（k²-1）y²+k²a²=0．对k分类讨论即可得出．

解答： 解：设所求的曲线上的任意一点P（x，y），
∵此曲线是与两个定点O（0，0），A（a，0）（a≠0）的距离的比为k的点的轨迹，
∴

|PO|

|PA|

=k，
∴

x2+y2

(x-a)2+y2

=k≥0，
化为（k²-1）x²-2ak²x+（k²-1）y²+k²a²=0．（*）
当k=0时，（*）化为

x2+y2

=0，此曲线为原点（0，0）；
当k=1时，（*）化为：x=

a

2

，为线段OA的垂直平分线；
当k≠0，1时，(x-

ak2

k2-1

)2+y²=(

ka

k2-1

)2，
此曲线是以(

ak2

k2-1

，0)为圆心，|

ka

k2-1

|为半径的圆．

点评：本题考查了曲线轨迹的求解方法及其分类讨论的思想方法、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．