Question

设

a

、

b

、

c

有公共起点

c

=m

a

+n

b

，要使

a

、

b

、

c

的终点在一条直线上，则m n应满足

 

条件．

Answer 1

考点：平面向量的基本定理及其意义

专题：平面向量及应用

分析：依题意，设

OA

=

a

，

OB

=

b

、

OC

=

c

，则A、B、C三点共线⇒

AB

=λ

AC

（λ∈R，且λ≠0），转化为

OC

=

λ-1

λ

OA

+

1

λ

OB

，与已知

c

=m

a

+n

b

联立，可得m与n满足的关系．

解答： 解：∵

a

、

b

、

c

有公共起点，不妨设

OA

=

a

，

OB

=

b

、

OC

=

c

，
∵

a

、

b

、

c

的终点在一条直线上，即A、B、C三点共线，
∴

AB

=λ

AC

（λ∈R，且λ≠0），
即

OB

-

OA

=λ（

OC

-

OA

），
整理得：

OC

=

λ-1

λ

OA

+

1

λ

OB

，即

c

=

λ-1

λ

a

+

1

λ

b

，
∵

c

=m

a

+n

b

，
∴m=

λ-1

λ

，n=

1

λ

，
∴m+n=

λ-1

λ

+

1

λ

=1，
故答案为：m+n=1．

点评：本题考查平面向量的基本定理及其意义，着重考查向量共线定理的应用，考查转化思想．