Question

已知函数f（x）=x³-3x
（1）试求函数y=f（x）的零点．
（2）求证：函数f（x）=x³-3x在[1，+∞）上是增函数．

Answer 1

考点：函数零点的判定定理,函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：（1）直接求解方程x³-3x=0的根得函数y=f（x）的零点；
（2）求出函数f（x）的导函数，判断导函数在[1，+∞）上的符号得答案．

解答： （1）解：由x³-3x=0，解得x₁=0，x2=-

3

，x₃=

3

．
∴函数y=f（x）的零点是0，-

3

，

3

；
（2）证明：∵f（x）=x³-3x，
∴f′（x）=3x²-3=3（x²-1），
∵x＞1，
∴f′=3x²-3=3（x²-1）＞0，
∴f（x）=x³-3x在[1，+∞）上是增函数．

点评：本题考查了函数零点的求法，考查了利用导数研究函数的单调性，是基础题．