Question

已知f（x）=log_a（ax²-ax-1）．
（1）函数的定义域为R，求a的取值范围，
（2）函数值域为R，求a的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,对数函数的图像与性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）函数的定义域为R，即对任意x∈R，ax²-ax-1＞0恒成立，只要△＜0即可．
（1）根据函数f（x）的值域是R，则y=ax²-ax-1取遍所有大于0的值，然后利用二次函数性质，列出不等关系，转化成恒成立问题，求解即可得到a的取值范围；

解答： 解：（1）∵f（x）=log_a（ax²-ax-1）．∴a∈（0，1）∪（1，+∞）．
ax²-ax-1＞0，△=a²+4a，∵定义域为R．
∴△＜0，解得-4＜a＜0．
综上a∈∅
（2）∵函数f（x）=log_a（ax²-ax-1），且f（x）的值域为R，
根据对数的性质，可知当ax²-ax-1取遍所有大于0的值时，f（x）的值域为R，
∵a＞0，则y=ax²-ax-1的图象开口向上，
∴△=a²+4a≥0，即a≤-4或a≥0，
又a＞0，
∴a∈（0，1）∪（1，+∞）．
故a的取值范围为：（0，1）∪（1，+∞）．

点评：本题考查了复合函数的单调性，以及函数的值域问题．涉及了对数函数以及二次函数的性质，对于二次函数要注意数形结合的应用，注意抓住二次函数的开口方向，对称轴，以及判别式的考虑．对于对数函数，如果底数a的值不确定范围，则需要对底数a进行分类讨论，便于研究指数函数的图象和性质．属于中档题．