Question

双曲线x²-y²=4，与过点（1，0）的直线有且只有一个交点．这样的直线有

 

条．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设直线l的方程为y=k（x-1），与双曲线的方程联立转化为分类讨论其解的情况，即可得出．

解答： 解：双曲线的标准方程为

x2

4

-

y2

4

=1，
由题意可知直线l的斜率存在，
设直线l的方程为y=k（x-1），
联立

x2-y2=4 y=k(x-1)

，
化为（1-k²）x²+2k²x-k²-4=0，
①当1-k²=0时，解得k=±1，得到直线l：y=±（x-1），
分别与渐近线y=±x平行，因此与双曲线只有一个交点，满足题意；
②当1-k²≠0时，由△=4k⁴-4（1-k²）（-k²-4）=0，
整理得k²=

4

3

，即k=±

2 3

3

．
得到直线l：y=±

2 3

3

（x-1），
此时直线l分别与双曲线的右支相切，故只有一个交点．
综上可知：过定点P（1，0）作直线l与双曲线有且只有一个交点的这样的直线l只有4条．
故答案为：4

点评：本题考查了直线与双曲线的位置关系转化为方程联立利用判别式，分类讨论等基础知识与基本技能方法，属于中档题．