Question

设[x]表示不超过x的最大整数，如：[π]=3，[-3.7]=-4．给出以下命题：
①若x₁≤x₂，则[x₁]≤[x₂]；
②[lg1]+[lg2]+[lg3]+…+[lg2015]=4938；
③若x≥0，则可由[2sinx]=[

1

x

]解得x的范围为[

π

6

，1）∪（

5π

6

，π]；
④函数f（x）=

2x

1+2x

-

1

2

，则函数[f（x）]+[f（-x）]的值域为{0，-1}；
你认为以上正确的是

 

．

Answer 1

考点：函数的值

专题：新定义,函数的性质及应用

分析：①由[x]表示不超过x的最大整数，得出x₁≤x₂时，[x₁]≤[x₂]成立；
②计算出[lg1]+[lg2]+[lg3]+[lg4]+…+[lg2015]的值即可；
③举例说明x的取值范围不是[

π

6

，1）∪（

5π

6

，π]；
④求出函数f（x）与f（-x）的值域，计算y=[f（x）]+[f（-x）]的值即可．

解答： 解：对于①，∵[x]表示不超过x的最大整数，∴对任意的实数x₁≤x₂，有[x₁]≤[x₂]，∴①正确；
对于②，∵lg1=0，lg10=1，lg100=2，lg1000=3，∴[lg1]=[lg2]=[lg3]=[lg4]=…=[lg9]=0，
[lg10]=[lg11]=…=[lg99]=1，[lg100]=[lg102]=…=[lg999]=2，[lg1000]=[lg1001]=…=[lg2015]=3，
∴[lg1]+[lg2]+[lg3]+[lg4]+…+[lg2015]=9×0+90×1+900×2+1016×3=4938，∴②正确；
对于③，当x=

π

6

时，[2sinx]=1，[

1

x

]=0，∴x的取值范围不是[

π

6

，1）∪（

5π

6

，π]，∴③错误；
对于④，函数f（x）=

2x

1+2x

-

1

2

=

1

1 2x +1

-

1

2

∈（-

1

2

，

1

2

），
同理，f（-x）∈（-

1

2

，

1

2

），
当f（x）∈（-

1

2

，0）时，f（-x）∈（0，

1

2

），∴[f（x）]=-1，[f（-x）]=0，
∴[f（x）]+[f（-x）]=-1，
同理当f（-x）∈（-

1

2

，0）时，f（x）∈（0，

1

2

），∴[f（x）]=0，[f（-x）]=-1，
∴[f（x）]+[f（-x）]=-1，
当f（x）=0时，f（-x）=0，∴[f（x）]=0，[f（-x）]=0，
∴[f（x）]+[f（-x）]=0，
综上，y=[f（x）]+[f（-x）]={-1，0}，∴④正确．
故答案为：①②④．

点评：本题考查了新定义的函数的性质与应用问题，也考查了对数的计算问题与三角函数的计算问题，是综合性题目．