题目内容

我校高2014级迎新晚会的舞台天花板上有前、后两排共4个灯架，每排2个，每个灯架上安装了5盏射灯，每盏射灯发光的概率为
1
2
．若一个灯架上至少有3盏射灯正常发光，则这个灯架不需要维修，否则需要维修．
（Ⅰ）求恰有两个灯架需要维修的概率；
（Ⅱ）若前排每个灯架的维修费用为100元，后排每个灯架的维修费用为200元，记ξ为维修灯架的总费用，求随机变量ξ的分布列及数学期望．
考点：离散型随机变量的期望与方差,古典概型及其概率计算公式
专题：应用题,概率与统计
分析：（Ⅰ）求出一个灯架需要维修的概率，即可求恰有两个灯架需要维修的概率；
（Ⅱ）确定ξ的所有可能值为0，100，200，300，400，500，600，求出相应的概率，即可求出随机变量ξ的分布列及数学期望．
解答： 解：（Ⅰ）一个灯架需要维修的概率为
C
0
5
•(
1
2
)5+
C
1
5
•
1
2
•(
1
2
)4+
C
2
5
•(
1
2
)2•(
1
2
)3=
1
2
，
∴恰有两个灯架需要维修的概率为P=
C
2
4
•(
1
2
)2•(
1
2
)2=
3
8
；
（Ⅱ）ξ=0，100，200，300，400，500，600，则
P（ξ=0）=（
1
2
）4=
1
16
，P（ξ=100）=
C
1
2
（
1
2
）（
1
2
）3=
1
8
，P（ξ=200）=
C
1
2
（
1
2
）4+
C
2
2
（
1
2
）4=
3
16
，
P（ξ=300）=）=
C
1
2
（
1
2
）2
C
1
2
（
1
2
）2=
1
4
，P（ξ=400）=
C
2
2
（
1
2
）4
C
2
2
（
1
2
）2
C
1
2
（
1
2
）2=
3
16

P（ξ=500）=
C
1
2
（
1
2
）2
C
2
2
（
1
2
）2=
1
8
，P（ξ=600）=（
1
2
）4=
1
16
，
随机变量ξ的分布列
 ξ  0  100  200  300  400  500  600
 P  
1
16
  
1
8
  
3
16
  
1
4
  
3
16
  
1
8
  
1
16
数学期望Eξ=0×
1
16
+100×
1
8
+200×
3
16
+300×
1
4
+400×
3
16
+500×
1
8
+600×
1
16
=300．
点评：本题考查的知识点是相互独立事件的概率乘法公式，离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望，其中在求随机变量ξ的分布列时，对随机变量的每一个取值，要注意不重不漏，以便准确的计算出ξ取得各值时的概率，这也是计算分布列及数学期望时最容易产生的错误．
练习册系列答案
相关题目
已知f（x）=x-
1
2
t2+t+
3
2
为偶函数（t∈Z），且满足f（2）＜f（3）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若函数g（x）=loga[af（x）-x]（a＞0，且 a≠1﹚在区间[2，4]上是单调递减函数，求实数a的取值范围．
已知点A（1，0）、B（2，0），点C在y轴的正半轴上，求∠ACB取最大值时，C点的坐标．
等差数列{an}中，a2=4，S6=42．
（1）求数列的通项公式an；
（2）设bn=
2
(n+1)an
，Tn=b1+b2+…+bn，求T10．
从一批草莓中，随机抽取50个，其重量（单位：克）的频数分布表如下：
分组（重量） [80，85） [85，90） [90，95） [95，100）
频数（个） 10 50 20 15
（Ⅰ） 根据频数分布表计算草莓的重量在[90，95）的频率；
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（Ⅲ） 在（Ⅱ）中抽出的5个草莓中，任取2个，求重量在[80，85）和[95，100）中各有1个的概率．
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（1）若n=3，求取到的2个球全是红球的概率；
（2）若取到的2个球中至少有1个为红球的概率是
5
8
，求n的值．
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已知某一段公路限速60公里/小时，现抽取200辆通过这一段公路的汽车的时速，其频率分布直方图如图所示，则这200辆汽车中在该路段没有超速的有
 
辆．
y=2x，y=log2x，y=x2这三个函数中，当0＜x1＜x2＜1时，使f（
x1+x2
2
）＞
f(x1)+f(x2)
2
恒成立的个数是
 
．

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