题目内容
若P是两条异面直线l，m外的任意一点，则下列命题：
①过点P有且只有一条直线与l，m都平行；
②过点P有且只有一条直线与l，m都垂直；
③过点P有且只有一条直线与l，m都相交；
④过点P有且只有一条直线与l，m都异面．
其中假命题的个数为（ ）
①过点P有且只有一条直线与l，m都平行；
②过点P有且只有一条直线与l，m都垂直；
③过点P有且只有一条直线与l，m都相交；
④过点P有且只有一条直线与l，m都异面．
其中假命题的个数为（ ）
| A、1 | B、2 | C、3 | D、4 |
考点：命题的真假判断与应用
专题：空间位置关系与距离
分析：①通过反证法可以判定；②由异面直线公垂线的唯一性可以判定；③、④利用常见的图形举出反例即可．
解答：
解：①设过点P的直线为n，且
，∴l∥m，这与l、m异面矛盾，∴命题①错误；
②∵异面直线l、m有唯一的公垂线，∴过点P与公垂线平行的直线有且只有一条，∴命题②正确；
③如图所示的正方体中，设AD为直线l，A′B′为直线m，若点P在P1点处，则无法作出直线与两直线都相交，
∴选项C错误；
④如上图所示的正方体中，若P在P2点，则由图中可知直线CC′及D′P2均与l、m异面，
∴选项D错误；
∴以上假命题共有3个．
故选：C．
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②∵异面直线l、m有唯一的公垂线，∴过点P与公垂线平行的直线有且只有一条，∴命题②正确；
③如图所示的正方体中，设AD为直线l，A′B′为直线m，若点P在P1点处，则无法作出直线与两直线都相交，
∴选项C错误；
④如上图所示的正方体中，若P在P2点，则由图中可知直线CC′及D′P2均与l、m异面，
∴选项D错误；
∴以上假命题共有3个．
故选：C．
点评：本题考查了空间中的直线与直线的位置关系以及空间想象能力，解题时应借助于常见的空间图形解答，是易错题．
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