题目内容

已知函数f（x）=2sin（x-
π
6
）sin（x+
π
3
），x∈R．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）在△ABC中，若A=
π
4
，锐角C满足f（
C
2
+
π
6
）=
1
2
，求
BC
AB
的值．
考点：正弦定理,三角函数的周期性及其求法
专题：三角函数的求值
分析：（Ⅰ）函数f（x）解析式变形后，利用二倍角的正弦函数公式化简，找出ω的值，代入周期公式即可求出函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）根据第一问确定出的解析式，由f（
C
2
+
π
6
）=
1
2
，求出C的度数，再由A的度数，利用正弦定理即可求出所求式子的值．
解答： 解：（Ⅰ）f（x）=2sin（x-
π
6
）sin[
π
2
+（x-
π
6
）]=2sin（x-
π
6
）cos（x-
π
6
）=sin（2x-
π
3
），
∵ω=2，∴函数f（x）的最小正周期T=
2π
2
=π；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，f（
C
2
+
π
6
）=sin[2（
C
2
+
π
6
）-
π
3
]=sinC，
由已知sinC=
1
2
，
又角C为锐角，
∴C=
π
6
，
∵A=
π
4
，
∴由正弦定理
BC
sinA
=
AB
sinC
，得
BC
AB
=
sinA
sinC
=
2
2
1
2
=
2
．
点评：此题考查了正弦定理，以及三角函数的周期性及其求法，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．
练习册系列答案
相关题目
已知函数f（x）在R上是奇函数，且f（x+3）=-f（x），当0＜x＜2时，f（x）=x2，求f（0），f（-3），f（2013）．
若P是两条异面直线l，m外的任意一点，则下列命题：
①过点P有且只有一条直线与l，m都平行；
②过点P有且只有一条直线与l，m都垂直；
③过点P有且只有一条直线与l，m都相交；
④过点P有且只有一条直线与l，m都异面．
其中假命题的个数为（　　）
A、1B、2C、3D、4
一只蚂蚁在三边长分别为3，4，5的三角形内爬行，则此蚂蚁距离三角形三个顶点的距离均超过1的概率为（　　）
A、1-
π
6
B、1-
π
12
C、
π
6
D、
π
12
已知椭圆C的方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1的两条渐近线为l1，l2，过椭圆C的右焦点F作直线l，使l⊥l1，又l与l2交于P点，设l与椭圆C的两个交点由上至下依次为A，B．
（1）若l1与l2夹角为60°，双曲线的焦距为4时，求椭圆C的方程及离心率；
（2）求
FA
AP
的最大值．
如图，椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的顶点为A1，A2，B1，B2，焦点为F1，F2，|A1B2|=
7
，S?A1B1A2B2=2S ?B1F1B2F2
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线m过Q（1，1），且与椭圆相交于M，N两点，当Q是MN的中点时，求直线m的方程．
（Ⅲ）设n为过原点的直线，l是与n垂直相交于P点且与椭圆相交于两点A，B的直线，|
OP
|=1，是否存在上述直线l使以AB为直径的圆过原点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
已知椭圆
y2
a2
+
x2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率e=
3
2
，短轴长为2，点A（x1，y1），B（x2，y2）是椭圆上的两点，
m
=(
x1
b
，
y1
a
)，
n
=(
x2
b
，
y2
a
)，且
m
•
n
=0．
（1）求椭圆方程；
（2）若直线AB过椭圆的焦点F（0，c）（c为半焦距），求直线AB的斜率；
（3）试问：△AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．
已知等比数列{an}的前n项和为Sn，an＞0，a1=
2
3
，且-
3
a2
，
1
a3
，
1
a4
成等差数列．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{bn}满足bn•log3（1-Sn+1）=1，求适合方程b1b2+b2b3+…+bnbn+1=
25
51
的正整数n的值．
如图，抛物线的方程为y2=2px（p＞0）．
（1）当p=4时，求该抛物线上纵坐标为2的点到其焦点F的距离；
（2）已知该抛物线上一点P的纵坐标为t（t＞0），过P作两条直线分别交抛物线与A（x1，y1）、B（x2，y2），当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求证：
y1+y2
t
为定值；并用常数p、t表示直线AB的斜率．

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