题目内容

已知抛物线y2=4x的焦点是F，准线是l，过焦点的直线与抛物线交于不同两点A，B，直线OA（O为原点）交准线l于点M，设A（x1，y1），B（x2，y2）．
（1）求证：y1y2是一个定值；
（2）求证：直线MB平行于x轴．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题
专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：（1）设直线AB的方程是：x=my+1代入y2=4x整理得：y2-4my-4=0，利用韦达定理，可得y1y2是一个定值；
（2）设A（
y12
4
，y1），M（-1，yM），由A、M、O三点共线有
y1
y12
4
=
yM
-1
，即y1yM=-4，结合y1y2=-4，即可证明直线MB平行于x轴．
解答： 证明：（1）抛物线y2=4x的焦点是F（1，0），（1分）
设直线AB的方程是：x=my+1
代入y2=4x整理得：y2-4my-4=0，（4分）
显然△=16m2+16＞0
而A（x1，y1），B（x2，y2），所以y1y2=-4．（6分）
（2）据题意设A（
y12
4
，y1），M（-1，yM），（8分）
由A、M、O三点共线有
y1
y12
4
=
yM
-1
?
∴y1yM=-4，（10分）
又y1y2=-4
则y2=yM，故直线MB平行于x轴．（12分）
点评：本题考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，正确运用韦达定理是关键．
练习册系列答案
相关题目
若P是两条异面直线l，m外的任意一点，则下列命题：
①过点P有且只有一条直线与l，m都平行；
②过点P有且只有一条直线与l，m都垂直；
③过点P有且只有一条直线与l，m都相交；
④过点P有且只有一条直线与l，m都异面．
其中假命题的个数为（　　）
A、1B、2C、3D、4
已知椭圆
y2
a2
+
x2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率e=
3
2
，短轴长为2，点A（x1，y1），B（x2，y2）是椭圆上的两点，
m
=(
x1
b
，
y1
a
)，
n
=(
x2
b
，
y2
a
)，且
m
•
n
=0．
（1）求椭圆方程；
（2）若直线AB过椭圆的焦点F（0，c）（c为半焦距），求直线AB的斜率；
（3）试问：△AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．
已知等比数列{an}的前n项和为Sn，an＞0，a1=
2
3
，且-
3
a2
，
1
a3
，
1
a4
成等差数列．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{bn}满足bn•log3（1-Sn+1）=1，求适合方程b1b2+b2b3+…+bnbn+1=
25
51
的正整数n的值．
已知动点P与平面上两定点A(-
3
，0)，B(
3
，0)连线的斜率的积为定值-
1
3
．
（1）求点P的轨迹方程；
（2）已知定点E（-1，0），若直线y=kx+2（k≠0）与椭圆交于C、D两点．问：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点？请说明理由．
设椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，过点A与AF2垂直的直线交x轴负半轴于点Q，且2
F1F2
+
F2Q
=
0
．
（1）求椭圆C的离心率； 
（2）若过A、Q、F2三点的圆恰好与直线l：x-
3
y-3=0相切，求椭圆C的方程．
已知F1，F2分别为椭圆
x2
a2
+
y2
a2-1
=1（a＞1）的左、右两个焦点，一条直线l经过点F1与椭圆交于A、B两点，且△ABF2的周长为8．
（1）求实数a的值；
（2）若l的倾斜角为
π
4
，求|AB|的值．
如图，抛物线的方程为y2=2px（p＞0）．
（1）当p=4时，求该抛物线上纵坐标为2的点到其焦点F的距离；
（2）已知该抛物线上一点P的纵坐标为t（t＞0），过P作两条直线分别交抛物线与A（x1，y1）、B（x2，y2），当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求证：
y1+y2
t
为定值；并用常数p、t表示直线AB的斜率．
点P（x，y）满足条件
0≤x≤1
0≤y≤1
y-x≥
1
2
则P点坐标为
 
时，z=4-2x+y取最大值
 
．

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