Question

已知点F为椭圆C：

x2

2

+y2=1的左焦点，点P为椭圆C上任意一点，点Q的坐标为（4，3），则|PQ|+|PF|取最大值时，点P的坐标为

 

．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设椭圆C的右焦点为F′（1，0），由已知条件推导出当PQ|+|PF|取最大值5

2

时Q，F′，P共线，此时直线PQ方程为y=x-1，由此能求出点P的坐标．

解答： 解：∵点F为椭圆C：

x2

2

+y2=1的左焦点，∴F（-1，0），
∵点P为椭圆C上任意一点，点Q的坐标为（4，3），
设椭圆C的右焦点为F′（1，0），
∴|PQ|+|PF|=|PQ|+2

2

-|PF′|
=2

2

+|PQ|-|PF′|，
∵|PQ|-|PF′|≤|QF′|=3

2

，
∴|PQ|+|PF|≤5

2

，即最大值为5

2

，
此时Q，F′，P共线
直线PQ方程为y=x-1，
解方程组

y=x-1 x2 2 +y2=1

解得x=0，y=-1，或x=

4

3

，y=

1

3

（舍），
∴点P坐标为（0，-1）．
故答案为：（0，-1）．

点评：本题考查点的坐标的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．