Question

定义在R上的函数f（x）满足：f（x+1）=-f（x），且当x∈（0，1）时，f（x）=2^x-1，则f（log₂20）的值为（　　）

• A、

  1

  4

• B、

  4

  5

• C、

  5

  4

• D、-

  1

  5

Answer 1

考点：抽象函数及其应用,函数的值

专题：函数的性质及应用

分析：根据对数函数的单调性，判断出log₂20∈（4，5），结合已知中：f（x+1）=-f（x），求出函数的周期，利用函数的解析式，即可得到f（log₂20）的值．

解答： 解：∵f（x+1）=-f（x），∴f（x+2）=-f（x+1）=f（x），
∴函数f（x）为周期为2是周期函数
又∵log₂32＞log₂20＞log₂16
∴4＜log₂20＜5
∴f（log₂20）=f（log₂20-4）=f（log₂

5

4

）
又∵x∈（0，1）时，f（x）=2^x-1，
∴f（log₂

5

4

）=2log2

5

4

-1=

5

4

-1=

1

4

故选：A．

点评：本题考查的知识点是函数的周期性和奇偶函数图象的对称性，其中根据已知中f（x+1）=-f（x），求出函数的周期是解答醒的关键，属中档题．