Question

已知函数f（x）=|x-a|-1，其中a＞1．
（Ⅰ）当a=2时，求不等式f（x）≥4-|x-4|的解集；
（Ⅱ）已知关于x的不等式|f（2x+a）-2f（x）|≤1的解集为{x|

1

2

≤x≤1}，求a的值．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：计算题,分类讨论,不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）当a=2时，f（x）≥4-|x-4|可化为|x-2|+|x-4|≥5，运用零点分区间，求出不等式|x-2|+|x-4|≥5的解集即可；
（Ⅱ）设h（x）=f（2x+a）-2f（x），运用分段函数表示h（x），由|h（x）|≤1解得

a-1

2

≤x≤

a

2

，它与

1

2

≤x≤1等价，然后求出a的值．

解答： 解：（Ⅰ）当a=2时，f（x）≥4-|x-4|可化为|x-2|+|x-4|≥5，
当x≤2时，得-2x+6≥5，解得x≤

1

2

；
当2＜x＜4时，得2≥5，无解；
当x≥4时，得2x-6≥5，解得x≥

11

2

；
故不等式的解集为{x|x≥

11

2

或x≤

1

2

}．
（II）令h（x）=f（2x+a）-2f（x）=|2x|-|2x-2a|+1，
则h(x)=

-2a+1，(x≤0) 4x-2a+1，(0＜x＜a) 2a+1，(x≥a)

由|h（x）|≤1，可得

a-1

2

≤x≤

a

2

，
又解集为{x|

1

2

≤x≤1}，
则有

a-1 2 = 1 2 a 2 =1

，
解得a=2．

点评：本题是中档题，考查绝对值不等式的解法，注意分类讨论思想的应用，考查计算能力，常考题型．