Question

已知实数x，y满足x²+y²=4，则

2xy

x+y-2

的最小值为

 

．

Answer 1

考点：圆的标准方程

专题：直线与圆

分析：由已知得x²+y²+2xy≤2（x²+y²），从而-2

2

≤x+y≤2

2

，进而

2xy

x+y-2

=

x2+y2+2xy-4

x+y-2

=x+y+2≥2-2

2

．

解答： 解：∵实数x，y满足x²+y²=4，
（x-y）²≥0，展开得：2xy≤x²+y²，
∴x²+y²+2xy≤2（x²+y²）
（x+y）²≤2（x²+y²）=8
得：-2

2

≤x+y≤2

2

，
∴

2xy

x+y-2

=

x2+y2+2xy-4

x+y-2

=

(x+y)2-4

x+y-2

=

(x+y+2)(x+y-2)

x+y-2

=x+y+2≥2-2

2

，
∴

2xy

x+y-2

的最小值为2-2

2

．
故答案为：2-2

2

．

点评：本题考查代数式的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．