Question

5．△ABC中，A（0，-2），B（0，2），且|CA|，|AB|，|CB|成等差数列，则C点的轨迹方程是$\frac{{y}^{2}}{16}+\frac{{x}^{2}}{12}=1（x≠0）$．

Answer 1

分析 由|CB|，|AB|，|CA|成等差数列，可得|CB|+|CA|=2•|AB|=8，故C点轨迹为以A，B两点为焦点的椭圆，故可用定义法求轨迹方程．

解答 解：因为A（0，-2），B（0，2），且|CA|，|AB|，|CB|成等差数列，
所以|CB|+|CA|=2•|AB|=8，且8＞|AB|，
由椭圆的定义可知点C的轨迹是以A，B为焦点，长轴长为8的椭圆（去掉长轴的端点），
所以a=4，c=2，b=2$\sqrt{3}$．
故顶点C的轨迹方程为$\frac{{y}^{2}}{16}+\frac{{x}^{2}}{12}=1（x≠0）$．
故答案为：$\frac{{y}^{2}}{16}+\frac{{x}^{2}}{12}=1（x≠0）$．

点评 本题考查定义法求轨迹方程，考查曲线与方程的关系，解题的关键是确定点A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆．