题目内容
10．已知$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$是夹角为$\frac{π}{3}$的单位向量，若$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{{e}_{1}}$+3$\overrightarrow{{e}_{2}}$，$\overrightarrow{b}$=2$\overrightarrow{{e}_{1}}$-$\overrightarrow{{e}_{2}}$，则向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$夹角的余弦值为（ ）| A． | $\frac{1}{2}$ | B． | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | C． | $\sqrt{3}$ | D． | $\frac{\sqrt{39}}{26}$ |
分析 根据平面向量数量积的定义公式求向量夹角的余弦值即可．
解答 解：∵$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$是夹角为$\frac{π}{3}$的单位向量，
∴$\overrightarrow{{e}_{1}}$•$\overrightarrow{{e}_{2}}$=1×1×cos$\frac{π}{3}$=$\frac{1}{2}$，
|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{{e}_{1}}$+3$\overrightarrow{{e}_{2}}$|=$\sqrt{{\overrightarrow{{e}_{1}}}^{2}+6\overrightarrow{{e}_{1}}•\overrightarrow{{e}_{2}}+{9\overrightarrow{{e}_{2}}}^{2}}$=$\sqrt{1+6×\frac{1}{2}+9}$=$\sqrt{13}$，
|$\overrightarrow{b}$|=|2$\overrightarrow{{e}_{1}}$-$\overrightarrow{{e}_{2}}$|=$\sqrt{{4\overrightarrow{{e}_{1}}}^{2}-4\overrightarrow{{e}_{1}}•\overrightarrow{{e}_{2}}{+\overrightarrow{{e}_{2}}}^{2}}$=$\sqrt{4-4×\frac{1}{2}+1}$=$\sqrt{3}$，
$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=（$\overrightarrow{{e}_{1}}$+3$\overrightarrow{{e}_{2}}$）•（2$\overrightarrow{{e}_{1}}$-$\overrightarrow{{e}_{2}}$）=2${\overrightarrow{{e}_{1}}}^{2}$+5$\overrightarrow{{e}_{1}}$•$\overrightarrow{{e}_{2}}$-3${\overrightarrow{{e}_{2}}}^{2}$=2×1+5×$\frac{1}{2}$-3×1=$\frac{3}{2}$；
∴向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$夹角θ的余弦值为：
cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|×|\overrightarrow{b}|}$=$\frac{\frac{3}{2}}{\sqrt{13}×\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{39}}{26}$．
故选：D．
点评 本题考查了平面向量数量积的定义与应用问题，是基础题目．
已知函数f（x）=Msin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜$\frac{π}{2}$）的部分图象如下图所示，其中A，B分别为函数f（x）图象的一个最高点和最低点，且A，B两点的横坐标分别为1，4，若$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，则函数f（x）的一个单调减区间为（ ）| A． | （-6，-3） | B． | （6，9） | C． | （7，10） | D． | （10，13） |
如图，圆柱的高为2，底面半径为3，AE，DF是圆柱的两条母线，B、C是下底面圆周上的两点，已知四边形ABCD是正方形．
如图，棱长为1的正方体OABC-D′A′B′C′中，G为侧面正方形BCC′B′的中心，以顶点O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则点G的坐标为（$\frac{1}{2}$，1，$\frac{1}{2}$）．