Question

13．已知a，b为正常数，x，y为正实数，且$\frac{a}{x}+\frac{b}{y}=2$，求x+y的最小值$\frac{a+b}{2}$+$\sqrt{ab}$．

Answer 1

分析 求出$\frac{a}{2x}$+$\frac{b}{2y}$=1，利用乘“1”法，求出代数式的最小值即可．

解答 解：∵a，b为正常数，x，y为正实数，且$\frac{a}{x}+\frac{b}{y}=2$，
∴$\frac{a}{2x}$+$\frac{b}{2y}$=1，
∴（x+y）（$\frac{a}{2x}$+$\frac{b}{2y}$）
=$\frac{a+b}{2}$+$\frac{bx}{2y}$+$\frac{ay}{2x}$
≥$\frac{a+b}{2}$+2$\sqrt{\frac{bx}{2y}•\frac{ay}{2x}}$
=$\frac{a+b}{2}$+$\sqrt{ab}$，
当且仅当x²=$\frac{a}{b}$y²时“=”成立，
故答案为：$\frac{a+b}{2}$+$\sqrt{ab}$．

点评 本题考查了乘“1”法的应用，考查基本不等式的性质，是一道基础题．