Question

16．已知f（x）=$\left\{\begin{array}{l}|{{{log}_2}x}|，0＜x≤2\\ \frac{1}{3}{x^2}-\frac{8}{3}x+5，x＞2\end{array}$，若a，b，c，d互不相同，且f（a）=f（b）=f（c）=f（d），则a+b+c+d的取值范围为$（{10，\frac{21}{2}}）$．

Answer 1

分析 不妨设a＜b＜c，作出f（x）的图象，根据二次函数的对称轴可得a+d=8，根据对数函数的单调性和值域可得2＜a+b＜$\frac{5}{2}$，进而可求得答案．

解答 解：不妨设a＜b＜c＜d，
作出f（x）的图象，如图所示：
当x＞2时，f（x）的对称轴为x=4，
∵c与d关于x=4对称，
∴a+d=8，
由图象可知0＜a＜1＜b＜2，
当|log₂x|=1，解得x=$\frac{1}{2}$或x=2，
∴2＜a+b＜$\frac{5}{2}$，
∴10＜a+b+c+d＜$\frac{21}{2}$
故答案为：$（{10，\frac{21}{2}}）$

点评 本题考查对数函数的图象和性质，考查数形结合思想、函数与方程思想，考查学生分析解决问题的能力．