如图.在△ABC中.已知AB=2.AC=3.∠BAC=60°.点D.E分别在边AB.AC上.且$\overrightarrow{AB}$=2$\overrightarrow{AD}$.$\overrightarrow{AC}$=3$\overrightarrow{AE}$.点F位线段DE上的动点.则$\overrightarrow{BF}$•$\overrightarrow{CF}$的取值� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

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如图，在△ABC中，已知AB=2，AC=3，∠BAC=60°，点D，E分别在边AB，AC上，且$\overrightarrow{AB}$=2$\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{AC}$=3$\overrightarrow{AE}$，点F位线段DE上的动点，则$\overrightarrow{BF}$•$\overrightarrow{CF}$的取值范围是[-$\frac{1}{16}$，$\frac{1}{2}$]．（　　）

分析设$\overrightarrow{DF}=λ\overrightarrow{DE}$，运用平面向量基本定理、向量的三角形法则，将向量$\overrightarrow{AB}、\overrightarrow{AC}$作为平面基底，用基底表示$\overrightarrow{BF}$，$\overrightarrow{CF}$，运用向量的数量积的定义，结合向量的平方即为模的平方，将$\overrightarrow{BF}$•$\overrightarrow{CF}$表示为λ的函数求解．

解答解：设$\overrightarrow{DF}=λ\overrightarrow{DE}=λ（\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}）$=$\frac{1}{3}λ\overrightarrow{AC}-\frac{1}{2}λ\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DF}=（\frac{1}{2}-\frac{1}{2}λ）\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}λ\overrightarrow{AC}$，
∴$\overrightarrow{BF}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AF}=（-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}λ）\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}λ\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AF}=（\frac{1}{2}-\frac{1}{2}λ）\overrightarrow{AB}+（\frac{1}{3}λ-1）\overrightarrow{AC}$；
则$\overrightarrow{BF}$•$\overrightarrow{CF}$=$（\frac{1}{4}{λ}^{2}-\frac{1}{4}）{\overrightarrow{AB}}^{2}+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}{λ}^{2}+\frac{1}{2}λ）\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$+$（\frac{1}{9}{λ}^{2}-\frac{1}{3}λ）{\overrightarrow{AC}}^{2}$=${λ}^{2}-\frac{3}{2}λ+\frac{1}{2}$，
当λ=0时，f（λ）=${λ}^{2}-\frac{3}{2}λ+\frac{1}{2}$最大为$\frac{1}{2}$，当$λ=\frac{3}{4}$时，f（λ）=${λ}^{2}-\frac{3}{2}λ+\frac{1}{2}$最小为-$\frac{1}{16}$；
则$\overrightarrow{BF}$•$\overrightarrow{CF}$的取值范围是[-$\frac{1}{16}$，$\frac{1}{2}$]，
故答案为：[-$\frac{1}{16}$，$\frac{1}{2}$]，

点评本题考查了向量的线性运算，及数量积运算，转化思想是关键，属于压轴题．