Question

5．设D是函数y=f（x）定义域的一个子集，若存在x₀∈D，使得f（x₀）=-x₀成立，则称x₀是f（x）的一个“准不动点”，也称f（x）在区间D上存在准不动点．已知$f（x）={log_{\frac{1}{2}}}（{{4^x}+a•{2^x}-1}），x∈[{0，1}]$．
（1）若a=1，求函数f（x）的准不动点；
（2）若函数f（x）在区间[0，1]上存在准不动点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意，当a=1时，可得f（x）=$lo{g}_{\frac{1}{2}}（{4}^{x}+{2}^{x}-1）=-x$，x∈[0，1]，可得函数f（x）的准不动点．
（2）依题意，“f（x）在区间D上有不动点”当且仅当“F（x）=f（x）+x在区间D上有零点”，F（x）在区间[0，1]上是一条连续不断的曲线，换元法转化为二次函数问题求解准不动点，可得实数a的取值范围．

解答 解：（1）由题意，当a=1时，可得f（x）=$lo{g}_{\frac{1}{2}}（{4}^{x}+{2}^{x}-1）=-x$，x∈[0，1]，
可得：4^x+2^x-1=2^x，
即4^x=1
∴x=0．
当a=1，函数f（x）的准不动点为x₀=0．
（2）由定义：f（x）=$lo{g}_{\frac{1}{2}}（{4}^{x}+a{2}^{x}-1）=-x$，x∈[0，1]，上有零点”，
可得：F（x）=4^x+a•2^x-1-2^x，即F（x）=（2^x）²+a•2^x-1-2^x，上有零点”，
且4^x+a•2^x-1＞0，
令2^x=t，
x∈[0，1]，
则t∈[1，2]
那么F（x）转化为g（x）=t²+at-t-1，上有零点”图象是一条连续不断的曲线，
且t²+at-1＞0，（1≤t≤2）．
根据二次函数根的分布：则有$\left\{\begin{array}{l}{g（1）≤0}\\{g（2）≥0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{g（1）≥0}\\{g（2）≤0}\end{array}\right.$．
解得$-\frac{1}{2}≤a≤1$．
要使t²+at-1＞0（1≤t≤2）恒成立．
其对称轴x=$-\frac{a}{2}$，在1≤t≤2上是递增的，当t=1时最小值，
可得a＞0．
综上可得实数a的取值范围是（0，1]．

点评 本题主要考查了函数与方程的综合运用，以及函数零点最值等有关知识，属于中档题．