Question

16．在区间[-1，1]上任取两数a、b，则关于x的二次方程x²+2ax+b=0有两个实数根的概率为（　　）

• A． $\frac{π-2}{2}$
• B． $\frac{4-π}{4}$
• C． $\frac{π}{4}$
• D． $\frac{2}{3}$

Answer 1

分析 由二次方程x²+2ax+b=0有两个实数根列出a，b满足的条件，再在坐标系aob中画出区域，利用定积分求出面积，由测度比为面积比得答案．

解答 解：由题意可得$\left\{\begin{array}{l}{-1≤a≤1}\\{-1≤b≤1}\\{4{a}^{2}-4b≥0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{-1≤a≤1}\\{-1≤b≤1}\\{b≤{a}^{2}}\end{array}\right.$．
画出图形如图：

图中阴影部分的面积为S=${∫}_{-1}^{1}（{a}^{2}+1）da=（\frac{1}{3}{a}^{3}+a）{|}_{-1}^{1}$=$\frac{8}{3}$．
∴关于x的二次方程x²+2ax+b=0有两个实数根的概率为$\frac{\frac{8}{3}}{4}=\frac{2}{3}$．
故选：D．

点评 本题主要考查了几何概型，以及一元二次方程的根的分布与系数的关系，属于基础题．