Question

15．已知函数f（x）=x²+mx+$\frac{mx+1}{{x}^{2}}$+n（m，n∈R）有零点，则m²+n²的取值范围是[$\frac{4}{5}$，+∞）．

Answer 1

分析 令t=x+$\frac{1}{x}$，得出关于t的方程t²+mt+n-2=0在（-∞，-2]∪[2，+∞）上有解，根据零点的存在性定理列不等式，作出平面区域，根据m²+n²的几何意义解出．

解答 解：f（x）=x²+mx+$\frac{mx+1}{{x}^{2}}$+n=${x}^{2}+\frac{1}{{x}^{2}}+m（x+\frac{1}{x}）+n$=$（x+\frac{1}{x}）^{2}+m（x+\frac{1}{x}）+n-2$．
令x+$\frac{1}{x}$=t，当x＞0时，t≥2；当x＜0时，t≤-2．
∵函数f（x）在定义域上有零点，∴方程t²+mt+n-2=0在（-∞，-2]∪[2，+∞）上有解，
∴2-2m+n≤0或2+2m+n≤0，
作出平面区域如图所示：

由图形可知平面区域内的点到原点的最短距离d=$\frac{2}{\sqrt{5}}$，
∴m²+n²≥$\frac{4}{5}$．
故答案为：[$\frac{4}{5}$，+∞）．

点评 本题考查了零点的存在性定理，线性规划的应用，属于中档题．