Question

14．在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，若直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=cosα}\\{y={y}_{0}+tsinα}\end{array}\right.$（t为参数，α为l的倾斜角），曲线E的极坐标方程为ρ=4sinθ．射线θ=β，θ=β+$\frac{π}{4}$，θ=β-$\frac{π}{4}$与曲线E分别交于不同于极点的三点A、B、C．
（1）求证：|OB|+|OC|=$\sqrt{2}$|OA|；
（2）当β=$\frac{7π}{12}$时，直线l过B、C两点，求y₀与α的值．

Answer 1

分析 （1）由题意可知求得丨OA丨，丨OB丨及丨OC丨，即可证明|OB|+|OC|=$\sqrt{2}$|OA|；
（2）当β=$\frac{7π}{12}$时，求得B和C点坐标，求得直线l的方程，即可求得y₀与α的值．

解答 解：（1）证明：由题意可知丨OA丨=4sinβ，丨OB丨=4sin（β+$\frac{π}{4}$），丨OC丨=4sin（β-$\frac{π}{4}$），
则丨OB丨+丨OC丨=4sin（β+$\frac{π}{4}$）+4sin（β-$\frac{π}{4}$）=4$\sqrt{2}$sinβ=$\sqrt{2}$丨OA丨，
（2）当β=$\frac{7π}{12}$时，B点的极坐标为（4sin（$\frac{7π}{12}$+$\frac{π}{4}$），（$\frac{7π}{12}$+$\frac{π}{4}$）），
C的极坐标为（4sin（$\frac{7π}{12}$-$\frac{π}{4}$），（$\frac{7π}{12}$+$\frac{π}{4}$）），
转化成直角坐标B（-$\sqrt{3}$，1），C（$\sqrt{3}$，3），
则直线l的方程为x-$\sqrt{3}$y+2$\sqrt{3}$=0，
则y₀=2，α=$\frac{π}{6}$．

点评 本题考查极坐标与直角坐标的转化，考查两角和的正弦公式，考查计算能力，属于基础题．