Question

设函数f（θ）=

3

sinθ+cosθ，其中θ的顶点与坐标原点重合，始终与x轴非负半轴重合，终边经过点P（x，y）且0≤θ≤π．
（1）若点P的坐标为(

1

2

，

3

2

)，则f（θ）的值为

 

（2）若点P（x，y）为平面区域Ω：

x+y≥1 x≤1 y≤1

内的一个动点，记f（θ）的最大值为M，最小值m，则log_Mm=

 

．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,任意角的三角函数的定义,正弦函数的定义域和值域

专题：计算题,三角函数的求值

分析：首先由两角和的正弦公式，化简f（θ）．
（1）由P的坐标为(

1

2

，

3

2

)，则θ=

π

3

，代入，即可得到；
（2）画出平面区域Ω，由图象得到0≤θ≤

π

2

，即有

π

6

≤θ+

π

6

≤

2π

3

，再由正弦函数的性质即可得到最值．

解答： 解：f（θ）=

3

sinθ+cosθ=2（

3

2

sinθ+

1

2

cosθ）=2sin（θ+

π

6

）．
（1）由P的坐标为(

1

2

，

3

2

)，则θ=

π

3

，f（θ）=2sin（

π

3

+

π

6

）=2sin

π

2

=2；
（2）平面区域Ω：

x+y≥1 x≤1 y≤1

如图：
则P位于点（0，1）处，θ最大，位于点（1，0）处最小，即0≤θ≤

π

2

，
即有

π

6

≤θ+

π

6

≤

2π

3

，
则f（θ）的最大值为M=f（

π

3

）=2，最小值为m=f（0）=1，
则log_Mm=log₂1=0．
故答案为：2，0．

点评：本题考查三角函数的化简和求值，考查不等式组表示的平面区域，考查正弦函数的性质，属于中档题．