Question

给出下列命题：
①?α∈R，使得sin3α=3sinα；
②?k∈R，曲线

x2

16-k

-

y2

k

=1表示双曲线；
③?a∈R⁺，y=ae^xx²的递减区间为（-2，0）； 
④?a∈R，对?x∈R，使得x²+2x+a＜0．
其中真命题为

 

（填上序号）

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：简易逻辑

分析：对于①：显然当α=0时，等式成立，由此对①进行判断；
对于②：举个反例即可，如k=-1时，表示椭圆，则②不正确；
对于③：先利用导数求出原函数的单调减区间，再进行判断；
对于④：结合y=x²+2x+a的图象可知，其开口向上且无限延展，由此可知④假命题．

解答： 解：对于①：当a=0时，结论显然成立，故①是真命题；
对于②：当k=-1时，曲线表示了椭圆，因此不可能对任意的a∈R，都有结论成立，故②假命题；
对于③：由y=ae^xx²，得y′=ae^x（x+2），令y′＜0，得x＜-2，故原函数的减区间为（-∞，-2]，故③假命题；
对于④：y=x²+2x+a的图象可知，其开口向上且无限延展，因此不会对所有的x∈R都满足小于零恒成立，故④假命题．
故答案为：①．

点评：本题的第③问涉及到了概念问题，要对函数在“某某区间上单调递减与函数的递减区间是区分开来”．