Question

在四棱锥S-ABCD中，SA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AD∥BC，AD=1，AB=BC=2，cos＜

DS

，

DB

＞=

1

5

．
（Ⅰ）求直线BS与平面SCD所成角的正弦值；
（Ⅱ）求面SAB与面SCD所成二面角的正弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面所成的角

专题：空间角

分析：（Ⅰ）设SA=m，由已知得4+m²=1+m²+5-2

m2+1

×

5

×

1

5

，从而得m=2，以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，利用向量法能求出直线BS与平面SCD所成角的正弦值．
（Ⅱ）求出平面SAB的法向量，利用向量法能求出平面SAB与面SCD所成的二面角的正弦值．

解答： 解：（Ⅰ）设SA=m，∵SA²=DS²+DB²-2DS•DBcos＜

DS

，

DB

＞，
∴4+m²=1+m²+5-2

m2+1

×

5

×

1

5

，
解得m=2，
以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，
则D（1，0，0），C（2，2，0），S（0，0，2），B（0，2，0），

BS

=（0，-2，2），

DC

=（1，2，0），

DS

=（-1，0，2），
设平面SCD的法向量为

m

=（x，y，z），
则

DC • m =x+2y=0 DS • m =-x+2z=0

，
令z=1，则

m

=（2，-1，1），
设直线BS与平面SCD所成角为θ，
则sinθ=

| BS • m |

| BS |•| m |

=

0+2+2

8 • 6

=

3

3

．
（Ⅱ）∵SA⊥底面ABCD，AD⊥AB，
∴平面SAB的法向量为

AD

=（1，0，0），
cos＜

AD

，

m

＞=

AD • m

| AD |•| m |

=

6

3

，
平面SAB与面SCD所成的二面角的正弦值为

1-( 6 3 )2

=

3

3

．

点评：本题考查直线BS与平面SCD所成角的正弦值的求法，考查面SAB与面SCD所成二面角的正弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．