题目内容
函数f（x）=|1+2x|+|2-x|．
（1）指出函数的单调区间并求出函数最小值
（2）若a+f（x）＞0恒成立，求a的取值范围．
（1）指出函数的单调区间并求出函数最小值
（2）若a+f（x）＞0恒成立，求a的取值范围．
考点：绝对值不等式的解法
专题：计算题,不等式的解法及应用
分析：（1）分类讨论，即可确定函数的单调区间并求出函数最小值；
（2）若a+f（x）＞0恒成立，a＞-f（x）恒成立，利用（1）的结论求a的取值范围．
（2）若a+f（x）＞0恒成立，a＞-f（x）恒成立，利用（1）的结论求a的取值范围．
解答：
解：（1）分类讨论：
①当1+2x＞0，x-2＞0，即x＞2时，f（x）=（1+2x）-（2-x）=3x-1单调递增；
②当1+2x＞0，x-2＜0，即-0.5≤x≤2时，f（x）=（1+2x）+（2-x）=x+3单调递增；
③当1+2x＜0，x-2＜0，即x＜-0.5时，f（x）=-（1+2x）+（2-x）=1-3x单调递减；
综上，单调递增区间为[-0.5，+∞），单调减区间（-∞，-0.5），
x=-0.5时，函数最小值为-2.5；
（2）∵a+f（x）＞0恒成立，
∴a＞-f（x）恒成立，
∵函数最小值为-2.5，
∴a＞-2.5．
①当1+2x＞0，x-2＞0，即x＞2时，f（x）=（1+2x）-（2-x）=3x-1单调递增；
②当1+2x＞0，x-2＜0，即-0.5≤x≤2时，f（x）=（1+2x）+（2-x）=x+3单调递增；
③当1+2x＜0，x-2＜0，即x＜-0.5时，f（x）=-（1+2x）+（2-x）=1-3x单调递减；
综上，单调递增区间为[-0.5，+∞），单调减区间（-∞，-0.5），
x=-0.5时，函数最小值为-2.5；
（2）∵a+f（x）＞0恒成立，
∴a＞-f（x）恒成立，
∵函数最小值为-2.5，
∴a＞-2.5．
点评：本题考查绝对值不等式的解法，考查函数的单调区间、函数最小值，考查恒成立问题，确定函数的单调性是关键．
练习册系列答案
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函数y=4cos（
x+
）的最小正周期是（ ）
| 2 |
| 5 |
| 7π |
| 6 |
| A、5π | ||
| B、2π | ||
C、
| ||
D、
|
如图，四棱锥V-ABCD的底面是正方形，VD⊥平面ABCD，VD=AD=2．一直异面直线a，b分别在α，β内，面α∩β=c，则直线c（ ）
| A、一定与a，b中的两条都相交 |
| B、至少与a，b中的一条平行 |
| C、至多与a，b中的一条相交 |
| D、至少与a，b中的一条相交 |