Question

已知函数f（x）=2sin²x+2

3

sinxcosx-1
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）的最小值及相应x的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）利用二倍角的正弦、余弦公式，两角差的正弦公式，对解析式进行化简，利用周期公式求出函数的最小正周期；
（2）把“2x-

π

6

”作为一个整体，根据正弦函数的最小值和对应的x的取值，求出此函数的最值和对应的x的值．

解答： 解：（1）f(x)=2sin2x+2

3

sinxcosx-1
=

3

sin2x-cos2x=2sin(2x-

π

6

)，
则T=

2π

2

=π，
（2）当(2x-

π

6

)=

3π

2

+2kπ(k∈Z)时，
sin(2x-

π

6

)=-1，
则函数f（x）取得最小值为-2．
此时，x=

5π

6

+kπ(k∈Z)．

点评：本题考查了二倍角的正弦、余弦公式，两角差的正弦公式，正弦函数的性质的应用，以及整体思想．