Question

观察下列各式：

3

（1+

1

3

）＞

5

，

5

（1+

1

5

）＞

7

，

7

（1+

1

7

）＞

9

，

9

（1+

1

9

）＞

11

　…
请你根据上述特点，提炼出一个一般性命题，并用分析法加以证明．

Answer 1

考点：综合法与分析法(选修）,归纳推理

专题：证明题,分析法,推理和证明

分析：1．由

3

，

5

，

7

…想到

2n+1

，由

5

，

7

，

9

…想到

2n+1+2

，根据奇数的表示可得一般性的命题；
2．利用分析法对含有根式的命题进行证明，可对不等式的两边平方，化简后结论便非常明显．

解答： 解：通过观察，由奇数的表示可得一般性命题为：当n∈N^*时，

2n+1

(1+

1

2n+1

)＞

2n+3

．
用分析法证明如下：
要证

2n+1

(1+

1

2n+1

)＞

2n+3

，即证

2n+1

+

1

2n+1

＞

2n+3

，
只需证(

2n+1

+

1

2n+1

)2＞2n+3，
展开并整理得

1

2n+1

＞0，而此式显然对n∈N^*恒成立，
所以原不等式成立，
即当n∈N^*时，

2n+1

(1+

1

2n+1

)＞

2n+3

．

点评：1．本题考查学生的观察能力，分析和归纳推理能力．
2．理解分析法：证明不等式时，当不易发现需用不等式的哪些性质或事实解决这个问题时，我们常从所求证的不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或明显成立的事实，从而得出要证的命题成立，即“执果索因”．
3．应注意分析法的基本格式：要证…，只要证…，即证…，…，而此式显然成立，所以原命题成立．