Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=b且a_n=2a_n-1+

1

2n

（n＞1，n∈N^*）
（Ⅰ）若b=-

1

8

，求a₂，a₃，a₄；
（Ⅱ）若{a_n}是递增数列，求实数b的取值范围；
（Ⅲ）若?n∈N^*，S_n≥S₂恒成立，求实数b的取值范围．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）根据b的值和递推公式，依次求出a₂，a₃，a₄；
（Ⅱ）根据递推公式的特点，两边同乘以2ⁿ进行变形后构造数列bn=2nan，代入式子得：b_n=4b_n-1+1，
再设b_n+k=4（b_n-1+k），利用待定系数法求出k的值，构造新的等比数列{b_n+

1

3

}，利用等比数列，的通项公式求出b_n，再求出a_n的表达式，利用条件得：a_n+1-a_n＞0对任意n∈N^*恒成立，代入后化简求出b的取值范围；
（Ⅲ）由（Ⅱ）求出的a_n，利用分组求和法和等比数列的前n项和公式求出S_n的表达式，再化简出S_n-S₂的表达式并分离b，再对n进行分类讨论，利用恒成立求出最值方法求出对应的b的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）由b=-

1

8

，a₁=b且a_n=2a_n-1+

1

2n

（n＞1，n∈N^*）得，
a2=2×(-

1

8

)+

1

4

=0，a3=2×0+

1

8

=

1

8

，a4=2×

1

8

+

1

16

=

5

16

；
（Ⅱ）由a_n=2a_n-1+

1

2n

得，2nan=4(2n-1an-1)+1，
令bn=2nan，则b₁=2a₁=b，b_n=4b_n-1+1，
设b_n+k=4（b_n-1+k），得b_n=4b_n-1+3k，
解得k=

1

3

，即bn+

1

3

=4(bn-1+

1

3

)
∴数列{b_n+

1

3

}是以2b+

1

3

为首项、4为公比的等比数列，
∴bn+

1

3

=(2b+

1

3

)•4n-1，则bn=(2b+

1

3

)•4n-1-

1

3

，
故2nan=(2b+

1

3

)•4n-1-

1

3

，
∴an=(2b+

1

3

)•2n-2-

1

3•2n

，
∵{a_n}是递增数列，∴a_n+1-a_n＞0对任意n∈N^*恒成立，
则a_n+1-a_n=(2b+

1

3

)•2n-1-

1

3•2n+1

-（(2b+

1

3

)•2n-2-

1

3•2n

）
=(2b+

1

3

)•2n-2+

1

3•2n+1

＞0，
∴2b+

1

3

＞-

1

3•22n-1

对任意n∈N^*恒成立，
又∵-

1

3•22n-1

＜0，
∴2b+

1

3

≥0，解得b≥-

1

6

，
（Ⅲ）由（Ⅱ）得，an=(2b+

1

3

)•2n-2-

1

3•2n

，
∴S_n=(2b+

1

3

)•

1 2 (1-2n)

1-2

-

1

3

•

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

=(b+

1

6

)•(2n-1)-

1

3

•(1-

1

2n

)，
∵?n∈N^*，S_n≥S₂恒成立，
∴(b+

1

6

)•(2n-1)-

1

3

•(1-

1

2n

)≥3b+

1

4

恒成立，
即(2n-4)b≥

3

4

-

1

3•2n

-

2n

6

恒成立，
当n≥3时，由(2n-4)b≥

3

4

-

1

3•2n

-

2n

6

得，
(2n-4)b≥

3

4

-

1

3•2n

-

2n

6

=

9•2n-4-2•22n

12•2n

=

(-2•2n+1)(2n-4)

12•2n

化简得b≥

1

12•2n

-

1

6

，
只要b≥

1

12•23

-

1

6

=-

15

96

=-

5

32

即可，
当n=2时，2ⁿ-4=0≥

3

4

-

1

3•2n

-

2n

6

=0，成立，
当n=1时，(2n-4)b≥

3

4

-

1

3•2n

-

2n

6

为-2b≥

1

4

，即b≤-

1

8

，
综上所述：实数b的取值范围是-

5

32

≤b≤-

1

8

．

点评：本题考查了等比数列的定义、通项公式、前n项和公式，递推公式的转化和应用，以及分组法求数列的前n项和，构造法求数列的通项公式，分离法求参数的值，考查了分类讨论思想、转化思想和恒成立问题，难度较大，需要很强的逻辑思维能力和计算化简能力．