Question

过曲线y=

1

2

x³上的点（1，

1

2

）作曲线的切线m，则该切线m与圆O：x²+y²=1相交的弦长为

 

．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：计算题,导数的概念及应用,直线与圆

分析：先求出切线m的方程，再利用勾股定理，计算切线m与圆O：x²+y²=1相交的弦长．

解答： 解：由题意，点（1，

1

2

）为切点，则
∵y=

1

2

x³，
∴y′=

3

2

x²，
∴x=1时，y′=

3

2

，y=

1

2

，
∴切线m：y-

1

2

=

3

2

（x-1），即3x-2y-2=0，
∴圆心到直线的距离为

2

13

，
∴切线m与圆O：x²+y²=1相交的弦长为2

1- 4 13

=

6 13

13

．
故答案为：

6 13

13

．

点评：本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程、直线与圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．