Question

设函数f（x）=2lnx+

1

2

ax2-（2a+1）x（a＞0）
（1）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；
（2）求f（x）在（0，2]上的最大值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）通过求函数导数，然后判断f′（x）的符号即可．
（Ⅱ）求出原函数的导函数，结合二次函数的图象和性质，分①

1

a

≥2与②0＜

1

a

＜2两种情况，分析函数y=f（x）在区间（0，2]上的单调性，可得答案．

解答： 解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞），f′(x)=

2

x

+ax-(2a+1)=

ax2-(2a+1)x+2

x

，
当a=1时，f′(x)=

x2-3x+2

x

，由f′（x）＞0得x＞2或0＜x＜1，由f′（x）＜0得1＜x＜2，
所以增区间为（0，1）与（2，+∞），减区间为（1，2）．
（2）由f′（x）=0得x=2或x=

1

a

，
①当

1

a

≥2时，即0＜a≤

1

2

时，f（x）在（0，2]上单调递增，f（x）_max=f（2）=2ln2-2a-2，
②当0＜

1

a

＜2时，即a＞

1

2

时，f（x）在(0，

1

a

]上单调递增，在(

1

a

，2]上单调递减，f(x)max=f(

1

a

)=2ln

1

a

-

1

2a

-2，

综上所述得f(x)max=

2ln2-2a-2，0＜a≤ 1 2 2ln 1 a - 1 2a -2，a＞ 1 2

．

点评：本题考查的知识点是导数法判断函数的单调性，熟练掌握导数的符号与原函数单调性的关系是解答的关键．