Question

设f（x）=cos（

nπ

2

+

π

4

），则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2010）=（　　）

• A、

  2

• B、-

  2

• C、-

  2

  2

• D、

  2

  2

Answer 1

考点：余弦函数的图象

专题：计算题

分析：先利用观察法得到函数的周期，利用函数的周期性即可求出函数值．

解答： 解：当n=1时，f（1）=cos（

π

2

+

π

4

）=-

2

2

当n=2时，f（2）=cos（π+

π

4

）=-

2

2

，
当n=3时，f（3）=cos（

3π

2

+

π

4

）=

2

2

当n=4时，f（4）=cos（

4π

2

+

π

4

）=

2

2

当n=5时，f（5）=cos（

5π

2

+

π

4

）=-

2

2

；
当n=6时，f（6）=cos（

6π

2

+

π

4

）=-

2

2

；
当n=7时，f（7）=cos（

7π

2

+

π

4

）=

2

2

；
当n=8时，f（8）=cos（

8π

2

+

π

4

）=

2

2

；
当n=9时，f（9）=cos（

9π

2

+

π

4

）=-

2

2

；
…由以上数值出现的规律可以知道，此函数的一个周期为T=4，
利用函数的周期性，而f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=0，且2010=4×502+2
则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2010）
=f（2009）+f（2010）
=-

2

2

+-

2

2

=-

2

．
故选：B．

点评：此题考查了求函数解析式及函数值，先利用观察法得到函数的周期，利用函数的周期性即可求出函数值，属于中档题．