Question

若函数f（x）对任意的x∈R满足f（-x）=-f（x），当x≥0时，f（x）=x²-2x，则不等式xf（x）＞0的解集是

 

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Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：当x≥0时，不等式xf（x）＞0即x（x²-2x）＞0，解得即可．由于函数f（x）对任意的x∈R满足f（-x）=-f（x），可得函数f（x）是奇函数．因此当x＜0时，f（x）=-f（-x）=-（x²+2x），于是不等式xf（x）＞0即-x（x²+2x）＞0，解出即可．

解答： 解：当x≥0时，不等式xf（x）＞0即x（x²-2x）＞0，解得x＞2．
∵函数f（x）对任意的x∈R满足f（-x）=-f（x），∴函数f（x）是奇函数．
当x＜0时，f（x）=-f（-x）=-（x²+2x），∴不等式xf（x）＞0即-x（x²+2x）＞0，
化为-（x+2）＞0，解得x＜-2．
综上可得：不等式xf（x）＞0的解集是（-∞，-2）∪（2，+∞）．
故答案为：（-∞，-2）∪（2，+∞）．

点评：本题考查了函数的奇偶性、不等式的解法，属于基础题．