Question

已知函数f（x）=e^x-e^-x，其中e是自然对数的底数．
（1）证明：f（x）是R上的奇函数；
（2）若函数g（x）=e^2x+e^-2x-6f（x），求g（x）在区间[0，1]上的最大值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,函数奇偶性的判断,利用导数研究函数的单调性

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（1）由f（x）=e^x-e^-x，可得f（-x）=e^-x-e^x=-f（x），从而可得函数为奇函数；
（2）函数g（x）=e^2x+e^-2x-6f（x）=（e^x-e^-x）²+2-6f（x）=[f（x）]²-6f（x）+2，不妨令t=f（x），则g（x）=t²-6t+2，
先确定t的范围，求出原函数的最大值．

解答： （1）证明：函数f（x）的定义域为R，
∵f（x）=e^x-e^-x，
∴f（-x）=e^-x-e^x=-f（x），
∴函数f（x）为奇函数
（2）解：函数g（x）=e^2x+e^-2x-6f（x）=（e^x-e^-x）²+2-6f（x）=[f（x）]²-6f（x）+2，
不妨令t=f（x），则g（x）=t²-6t+2，易知g（x）在t∈（-∞，3）单调递减，
由f′（x）=e^x+e^-x＞0可知f（x）在R上为单调递增函数，
所以f（x）在[0，1]上亦为单调递增函数，
从而t∈[f（0），f（1）]=[0，e-

1

e

]⊆（-∞，3），
所以g（x）的最大值在t=f（0）=0处取得，
即g(x)max=(0-3)2-7=2．

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性、函数在闭区间上的最值、二次不等式的求解，考查学生解决问题的能力，属中档题．