Question

△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，△ABC的面积为S，且

a

b+c

+

b

a+c

=1，
（1）求角C的大小；
（2）若c²≤

3

ab-

3

2

b²，且c=

6

，求S的值．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：计算题,解三角形

分析：（1）将已知等式化简整理，再由余弦定理，即可得到C；
（2）由（1）得，c²=a²+b²-ab≤

3

ab-

3

2

b²，则a²-（1+

3

）ab+

2+ 3

2

b²≤0，运用完全平方公式，即可得到
a=

1+ 3

2

b，再由a²+b²-ab=6，解出a，b，再运用面积公式，即可得到．

解答： 解：（1）

a

b+c

+

b

a+c

=1，
即

a

b+c

=1-

b

a+c

，即有a²+ac=（b+c）（a+c-b），
即有c²=a²+b²-ab，而由余弦定理知：c²=a²+b²-2abcosC，
故有2abcosC=ab，从而cosC=

1

2

，由于角C为△ABC中内角，
故C=

π

3

；
（2）由（1）得，c²=a²+b²-ab≤

3

ab-

3

2

b²，
则a²-（1+

3

）ab+

2+ 3

2

b²≤0，
即有（a-

1+ 3

2

b）²≤0，但（a-

1+ 3

2

b）²≥0，
则a=

1+ 3

2

b，
由c=

6

，得a²+b²-ab=6，
解得，a=1+

3

，b=2，
则S=

1

2

absinC=

1

2

×2×(1+

3

)×

3

2

=

3+ 3

2

．

点评：本题考查余弦定理和面积公式的运用，考查化简和整理的运算能力，属于中档题．