Question

已知圆锥的表面积为a m²，且它的侧面展开图是一个半圆，求这个圆锥的底面直径和体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积

专题：空间位置关系与距离

分析：首先，设圆锥母线长R，底面园半径长r，然后，根据侧面展开图得到R=2r，然后，求解其底面直径和体积．

解答： 解：设圆锥母线长R，底面园半径长r，
∵侧面展开图是一个半圆，此半圆半径为R，半圆弧长为2πr，
∴πR=2πr，
∴R=2r，
∵表面积是侧面积与底面积的和，
∴S_表=

1

2

πR²+πr²
∵R=2r
∴S_表=3πr²=a，
∴r=

a 3π

，
∴圆锥的底面直径2r=2

a 3π

，
∵圆锥的高为：h=

R2-r2

=

3

r，
∴V=

1

3

πr²h=

1

3

πr2

3

r
=

3

3

πr3=

a πa

9

，
∴圆锥的体积为

a πa

9

．

点评：本题重点考查了圆锥的结构特征、圆锥的表面积公式和体积公式及其灵活运用，属于中档题，解题关键是找到母线长和底面圆半径之间的关系．