Question

如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥面ABC，∠BAC=120°，且AB=AC=AP，M为PB的中点，N在BC上，且BN=

1

3

BC．
（1）求证：MN⊥AB；
（2）求平面MAN与平面PAN的夹角的余弦值．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）由已知条件推导出△NBA∽△ABC，取AB中点Q，连接MQ、NQ，推导出AB⊥平面MNQ，由此能证明AB⊥MN；
（2）过B作BD∥AC，交AN延长线于D，连PD，分别取PD、AD中点E、F，连ME，EF，MF，可得∠EFM是所求两面角的平面角，即可求平面MAN与平面PAN的夹角的余弦值．

解答： （1）证明：设AB=AC=AP=1，又∠BAC=120°，
∴在△ABC中，BC²=1+1-2×1×1×cos120°=3，
∴BC=

3

，
∴BN=

3

3

，
∴

AB

BC

=

BN

AB

，
又∠ABC=∠NBA，∴△NBA∽△ABC，
且△NBA也为等腰三角形．
取AB中点Q，连接MQ、NQ，∴NQ⊥AB，MQ∥PAQ，
∵PA⊥面ABC，∴PA⊥AB，∴MQ⊥AB，
∴AB⊥平面MNQ，
又MN?平面MNQ，∴AB⊥MN；
（2）解：过B作BD∥AC，交AN延长线于D，连PD，分别取PD、AD中点E、F，连ME，EF，MF，
由CA⊥面PAD，BD∥AC∥ME，PA⊥AN，EF∥PA，则ME⊥面PAD，EF⊥AN，
且MF⊥AN，∴∠EFM是所求两面角的平面角．
BD=

1

2

AC=

1

2

，ME=

1

2

BD=

1

4

，EF=

1

2

PA=

1

2

，MF=

5

4

，
∴cos∠EFM=

2 5

5

．

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的求法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．