Question

已知直线l：2x+y+4=0，圆C：x²+y²+2x-4y+1=0．
（1）直线m与直线l平行，且与圆C相切，求m的方程；
（2）设直线l和圆C的两个交点分别为A，B，求过A，B的圆中面积最小的圆的方程．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用

专题：直线与圆

分析：（1）结合斜率为-2，利用待定系数法给出直线的方程，然后根据相切列出关于待定系数的方程，解之即可；
（2）显然以直线与圆相交弦AB为直径时，动圆的面积最小，只需求出两交点A，B，则圆心、半径可求．

解答： 解：（1）易得直线l的斜率为-2，圆C的圆心为点（-1，2），半径为2．
设直线m的方程为2x+y+k=0，
由直线与圆相切得

|k|

5

=2，解得k=±2

5

．所以m的方程为2x+y±2

5

=0．
（2）由

2x+y+4=0 x2+y2+2x-4y+1=0

可得两交点的坐标分别为（-

11

5

，

2

5

），（-3，2）．
由题意，过A，B且面积最小的圆即以线段AB为直径的圆，由中点坐标公式得圆心为（-

13

5

，

6

5

），半径r=

1

2

(- 11 5 +3)2+( 2 5 -2)2

=

2 5

5

．
故所求方程为（x+

13

5

）²+（y-

6

5

） ²=

4

5

．

点评：本题考查了直线与圆的相切问题，主要是考虑圆心到直线的距离等于半径列方程．本题的第二问则利用弦长和直径的关系进行分析，则AB变成直径时，对应的圆最小．