Question

在数列{a_n}、{b_n}中，{a_n}的前n项和为S_n，点（b_n，n）、（n，S_n）分别在函数y=log₂x及函数y=x²+2x的图象上．
（Ⅰ）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）令c_n=a_n•b_n，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：（Ⅰ）依题意，n=log₂b_n，n=S_n²+2S_n，可求得bn=2n，Sn=n2+2n从而求得：a_n=2n+1；
（Ⅱ）先求出cn=an•bn=(2n+1)•2n，从而可求出T_n，2T_n，然后做差后即可求得数列{c_n}的前n项和T_n．

解答： 解：（Ⅰ）点（b_n，n）、（n，S_n）分别在函数y=log₂x及函数y=x²+2x的图象上
依题意，n=log₂b_n，n=S_n²+2S_n，可求得bn=2n，Sn=n2+2n
从而求得：a_n=2n+1．
（Ⅱ）cn=an•bn=(2n+1)•2n
Tn=3•21+5•22+7•23+…+(2n+1)•2n①
2Tn=3•22+5•23+7•24+…+(2n+1)•2n+1②
①-②得：

-Tn=3•21+2•22+2•23+…+2•2n-(2n+1)•2n+1   =2+2(2+22+23+…+2n)-(2n+1)•2n+1   =2+2• 2(1-2n) 1-2 -(2n+1)•2n+1…(10分)

∴Tn=(2n-1)2n+1+2，(n∈N*)

点评：本题主要考察了数列的求和，数列通项公式的求法，属于中档题．