Question

已知曲线C₁的方程为x²+2x+y²-4y=0．
（1）如果C₁上存在P，Q两点关于直线2x+my+4对称，求m的值；
（2）设点O（0，0），在（1）的条件下，且满足

OP

•

OQ

=

8

5

的直线PQ的方程．

Answer 1

考点：向量在几何中的应用

专题：平面向量及应用

分析：（1）曲线x²+2x+y²-4y=0上有两点P、Q，满足关于直线2x+my+4=0对称，说明曲线是圆，直线过圆心，易求m的值；
（2）设P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），PQ方程为y=-x+b．联立方程组，结合韦达定理，以及

OP

•

OQ

=

8

5

． 求得k的方程，然后求直线PQ的方程．

解答： 解：（1）曲线方程为（x+1）²+（y-2）²=5表示圆心为（-1，2），半径为

5

的圆．
∵点P、Q在圆上且关于直线2x+my+4=0对称，
∴圆心（-1，2）在直线上．代入得-2+2m+4=0，∴m=-1．
（2）∵直线PQ与直线y=2x+4垂直，
∴设P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），PQ方程为y=-

1

2

x+b．
将直线y=-

1

2

x+b代入圆方程，得

5

4

x²+（4-b）x+b²-4b=0．
△=（4-b）²-4×

5

4

×（b²-4b）＞0，得-1＜b＜4．
由韦达定理得x₁+x₂=-

4

5

（4-b），x₁•x₂=

4

5

（b²-4b）．
y₁•y₂=b²-

1

2

b（x₁+x₂）+

1

4

x₁•x₂=

4b2

5

+

4b

5

．
∵

OP

•

OQ

=

8

5

，∴x₁x₂+y₁y₂=

8

5

，
即-

4

5

（4-b）+

4b2

5

+

4b

5

=

8

5

．
即b²+2b-6=0．
解得b=-1+

7

∈（-1，4）．
∴所求的直线方程为y=-

1

2

x+

7

-1．

点评：本题考查直线与圆的方程的应用，直线的一般式方程，考查函数与方程的思想，是中档题．