Question

已知直线l：2x+y+4=0与圆C：x²+y²+2x-4y+1=0的两个交点分别为A，B．
（1）求A，B的坐标；
（2）点D在x轴上，使三角形ABD为等腰三角形，求点D的坐标．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用

专题：直线与圆

分析：（1）利用方程组可以解得交点A，B的坐标；
（2）因为不能确定哪个角是直角，所以需分类讨论，然后利用垂直、模长相等列方程（组）．

解答： 解：（1）由

2x+y+4=0 x2+y2+2x-4y+1=0

可得两交点的坐标分别为A （-

11

5

，

2

5

），B （-3，2）．
（2）①当DA=DB时，易得直线l的斜率为-2，线段AB的垂直平分线的斜率为

1

2

，中点为 （-

13

5

，

6

5

），
所以线段AB的垂直平分线的方程为x-2y+5=0．
所以点D的坐标为（-5，0）．
②当DA=BA时，以A 为圆心，AB为半径的圆A的方程为（x+

11

5

）²+（y-

2

5

） ²=

16

5

．
圆A与x轴的交点为（-

11

5

+

2 19

5

，0）和（-

11

5

-

2 19

5

，0）．
③当BA=BD时，以B为圆心，AB为半径的圆与x轴无交点．
所以，点D的坐标为 （-5，0）或（-

11

5

+

2 19

5

，0）或（-

11

5

-

2 19

5

，0）．

点评：本题考查了直线、圆的交点问题，即利用它们的方程来研究交点问题，结合垂直、距离公式构造方程组求解．