Question

11．已知函数$f（x）=\frac{-4x+5}{x+1}$，$g（x）=asin（\frac{π}{3}x）+2a$（a＞0），若对任意x₁∈[0，2]，总存在x₂∈[0，2]，使g（x₁）=f（x₂）成立，则实数a的取值范围是  $（0，\frac{5}{3}]$．

Answer 1

分析 求出x₂∈[0，2]时f（x₂）的值域，x₁∈[0，2]时g（x₁）的值域；
根据题意得出关于a的不等式组，求出a的取值范围．

解答 解：函数$f（x）=\frac{-4x+5}{x+1}$=-4+$\frac{9}{x+1}$，
$g（x）=asin（\frac{π}{3}x）+2a$（a＞0），
x₂∈[0，2]，x₂+1∈[1，3]，
∴$\frac{9}{{x}_{2}+1}$∈[3，9]，
∴-4+$\frac{9}{{x}_{2}+1}$∈[-1，5]，
即f（x₂）∈[-1，5]；
又x₁∈[0，2]，$\frac{π}{3}$x₁∈[0，$\frac{2π}{3}$]，
sin（$\frac{π}{3}$x₁）∈[0，1]，
∴g（x）=asin（$\frac{π}{3}$x₁）+2a∈[a，3a]；
对任意x₁∈[0，2]，总存在x₂∈[0，2]，使g（x₁）=f（x₂）成立，
等价于$\left\{\begin{array}{l}{a≥-1}\\{3a≤5}\end{array}\right.$，
解得-1≤a≤$\frac{5}{3}$；
又a＞0，
∴实数a的取值范围是0＜a≤$\frac{5}{3}$．
故答案为：（0，$\frac{5}{3}$]．

点评 本题主要考查了求函数的值域以及正弦函数的图象与性质的应用问题，体现了转化思想，是中档题．