Question

6．若存在正实数m，使得关于x的方程x+a（2x+2m-4ex）[ln（x+m）-lnx]=0成立，其中e为自然对数的底数，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （-∞，0）
• B． $（0，\frac{1}{2e}）$
• C． $（-∞，0）∪[\frac{1}{2e}，+∞）$
• D． $[\frac{1}{2e}，+∞）$

Answer 1

分析 根据函数与方程的关系将方程进行转化，利用换元法转化为方程有解，构造函数求函数的导数，
利用函数极值和单调性的关系进行求解即可

解答 解：由x+a（2x+2m-4ex）[ln（x+m）-lnx]=0得
x+2a（x+m-2ex）ln$\frac{x+m}{x}$=0，
即1+2a（$\frac{x+m}{x}$-2e）ln$\frac{x+m}{x}$=0，
即设t=$\frac{x+m}{x}$，则t＞0，
则条件等价为1+2a（t-2e）lnt=0，
即（t-2e）lnt=-$\frac{1}{2a}$有解，
设g（t）=（t-2e）lnt，
g′（t）=lnt+1-$\frac{2e}{t}$为增函数，
∵g′（e）=lne+1-$\frac{2e}{e}$=1+1-2=0，
∴当t＞e时，g′（t）＞0，
当0＜t＜e时，g′（t）＜0，
即当t=e时，函数g（t）取得极小值为：g（e）=（e-2e）lne=-e，
即g（t）≥g（e）=-e，
若（t-2e）lnt=-$\frac{1}{2a}$有解，
则-$\frac{1}{2a}$≥-e，即$\frac{1}{2a}$≤e，
则a＜0或a≥$\frac{1}{2e}$，
∴实数a的取值范围是（-∞，0）∪[$\frac{1}{2e}$，+∞）．
故选：C．

点评 本题主要考查了不等式恒成立问题，根据函数与方程的关系，转化为两个函数相交问题，利用构造法和导数法求出函数的极值和最值是解题的关键．